定理2设函数y=f(u)与u=φ(x)满足条件:(1)f(u)=A;(2)当x≠x0时,φ(x)≠a,且φ(x)=a,则复合函数f[φ(x)]当x→x0时的极限存在,且注2:上述定理的使用条件是当x≠x0时,φ(x)≠a.否则不一定成立.例如定理2表明,在一定条件下,求极限可以采用换元的方式...[继续阅读]

    基础题1.求下列极限:2.求下列极限:3.求下列极限:4.设求:f(x),f(x),f(x).提高题1.求下列极限:2.求下列极限:3.已知(x2+ax+b)/(1-x)=1,试求a与b的值.4.下列陈述中,哪些是对的,哪些是错的?如果是对的,说明理由;如果是错的,试给出一个反例.(1)如果...[继续阅读]

    先证x→+∞的情形.当x>0时,有由幂函数的性质得再由指数函数的性质得利用,可知所以.再证x→-∞的情形.令x=-t,则t→+∞.最后得.若令t=1/x,可得(1+t)1/t＝e.y=(1+x)1/x在0附近的图像如图1.32所示.图1.32例5求极限.例6求极限.解所求极限可分为...[继续阅读]

    用a表示本金,r表示年利率,那么经过t年后的余额为a(1+r)t.如果一年支付n次,那么经过t年后的余额为.根据前面的知识,我们知道随着n的增大而增大,那么它最终可以增大到多少呢?这个值称为连续复利.它究竟有多大?由3.3.3节例1可得er≈...[继续阅读]

    基础题1.填空题:2.求下列极限:3.求下列极限:提高题1.利用极限存在的准则证明:(2)数列,,,…的极限存在.2.求下列极限:...[继续阅读]

    基础题1.当x→0时,下列函数中哪些是无穷小,哪些是无穷大?2.用无穷小的性质说明下列函数是无穷小:3.比较下列无穷小阶数的高低:提高题1.指出下列函数在自变量给定的变化过程中哪些是无穷小?哪些是无穷大?2.下列函数在自变量怎样...[继续阅读]

    基础题1.讨论函数,在点x=1处的连续性,并画出它的图像.2.求函数f(x)=(x+3)/(x2+x-6)的连续区间,并求极限f(x),f(x),f(x).3.设函数当a为何值时,才能使f(x)在点x=0处连续?4.求下列函数的间断点,并指出间断点的类型:提高题1.设函数y=f(x)=x3-x+2,求适合...[继续阅读]

    基础题1.求下列极限:2.指出函数y=cosx在[0,3π/2]上的最大值和最小值.3.指出函数y=ex在[2,4]上的最大值和最小值.提高题1.证明方程x5+3x-1=0在区间(1,2)内至少有一个实根.2.证明方程ex-2=0在区间(0,1)内必定有根.3.证明方程x=asinx+b(a>0,b>0)至...[继续阅读]

    利用极限工具可以研究函数的连续性和可导性,这是函数重要的性质,实际上,这二者之间也存在着一定的联系.定理(函数可导与连续的关系)函数y=f(x)在点x处可导,则函数在点x处连续;反之,则不一定成立.例如y=|x|,在x=0处连续,但不可导...[继续阅读]

    基础题1.已知函数y=2-x2,试求当x从0.4变化到1.3时函数值的增量△y.2.计算极限((3+h)2-9)/h.3.计算极限(t2-x2)/(t-x).4.利用定义求函数在x=1处的导数.5.利用定义求函数y=x2+ax+b(a、b为常数)的导数.6.利用定义求函数y=1/x2的导数.7.利用定义证明(co...[继续阅读]