函数y=f(x)的导数y′=f′(x)仍然是x的函数,如果可导,我们把y′=f′(x)的导数叫作函数y=f(x)的二阶导数,记作y″或(d2y)/(dx2).以此类推,对函数f(x)的n-1阶导数再求一次导数 (若存在),所得的导数称为函数f(x)的n阶导数.二阶及二阶以上的导数统...[继续阅读]
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函数y=f(x)的导数y′=f′(x)仍然是x的函数,如果可导,我们把y′=f′(x)的导数叫作函数y=f(x)的二阶导数,记作y″或(d2y)/(dx2).以此类推,对函数f(x)的n-1阶导数再求一次导数 (若存在),所得的导数称为函数f(x)的n阶导数.二阶及二阶以上的导数统...[继续阅读]
变速直线运动中,运动方程为s=s(t),则物体运动的速度是路程s对时间t的一阶导数,v=s′(t)=(ds)/(dt)·其二阶导数在物理学中,a叫作物体的加速度,也就是说,物体运动的加速度a是路程s对时间t的二阶导数.例2-27 已知物体的运动方程为s=A cos...[继续阅读]
1. 求下列函数的二阶导数.(1) y=x sin x; (2) y=sin x+ln(2+x);(3); (4) y=tan x.2. 求下列函数的n阶导数.(1)y=1/(x(x+1)); (2)y=xlnx;(3) y=xex; (4) y=cos2 x....[继续阅读]
1. 两个实例例2-28 设一个边长为x的正方形金属薄片,由于温度的变化,其边长由x0变到x0+Δx时,金属片面积增加了多少?解: 面积函数为A=x2,当自变量x在点x0处有增量Δx时,相应地面积增量为ΔA=(x0+Δx)2-x20=2x0Δx+(Δx)2.显然,ΔA由两部分组成...[继续阅读]
1. 微分的四则运算法则设u,v是x的函数,且在点x处可微,则2. 微分的基本公式3. 复合函数的微分由复合函数的求导法则可以推导出复合函数的微分法则.设函数y=f(u)和u=g(x)都可微,则复合函数y=f[g(x)]的微分为由于du=g′(x)dx,所以,复合函数...[继续阅读]
一、导数的概念1. 导数: 若极限存在,则称函数y=f(x)在点x0处可导,并称此极限为y=f(x)在点x0的导数.记作2. 左导数:右导数:3. 导数的几何意义.切线方程:法线方程:4. 可导与连续: 可导一定连续,连续不一定可导.二、求导法则及高阶导数1...[继续阅读]
一、选择题1.若f(x)=x sin x,则f′(π/2)=( ).A. -1 B. 1 C.π/2 D. -π/22. 若y=f(x),有f′(x0)=1/2,则当Δx→0时,dy|_((x=x0)是( ).A. 比Δx低阶的无穷小量 B. 比Δx高阶的无穷小量C. 与Δx等价的无穷小量 D. 与Δx同阶的无穷小量,但非等价3. 设y=ex+e-x,则y″=( ...[继续阅读]
定理3-2 设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,(1)如果在(a,b)内f′(x)>0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调增加;(2)如果在(a,b)内f′(x)<0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调减少.说明:(1)判别法中的闭区间可换成其他各种区间(包括无穷区间).(2)一般地...[继续阅读]