高等数学-专业词典

在(-∞，+∞)中有界.">59.　证明f(x)=在(-∞，+∞)中有界.

证　显然f(x)>0,x∈(-∞,+∞).当|x|≤1时,≤1+x2≤2;当|x|≥1时,.故f(x)≤2,ᗄx∈R.由上面第58题知,f(x)在(-∞,+∞)中是有界的....[继续阅读]

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字数： 96

61.　(1) y=cos(x-2)的周期是_　(2) y=cos4x的周期是___.

答　(1)2π.　　(2).　因T=....[继续阅读]

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字数： 19

62.　(1) y=1+sinπx的周期是_　(2) y=sin²x的周期是___.

答　(1)2.　因T==2.(2)π.　因y=sin2x=-cos2x+,所以T==π....[继续阅读]

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字数： 45

65.　(1) 证明:[x]不是周期函数；
(2) 证明:[x]-x以1为周期.

证　(1)用反证法.　设[x]的周期为T>0.并设[T]=m≥0.令x=1-a,那么,当m=0时,T=a,其中0<a<1.[T+x]=[T+(1-a)]=1,而[x]=[1-a]=0,于是有[T+x]≠[x].当m>0时,[T+1]=m+1,而[1]=1,也有[T+1]≠[1].矛盾.故证明了[x]不是周期函数.(2)令f(x)=[x]-x,f(1+x)=[1+x]-(1+x)=1+[x]-...[继续阅读]

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字数： 239

68.　设实数a〈b，函数f(x)对任意实数x，有f(a-x)=f(a+x)，f(b-x)=f(b+x).证明f(x)是以2b-2a为周期的周期函数.

证　f[x+2(b-a)]=f[b+(x+b-2a)]=f[b-(x+b-2a)]＝f(2a-x)=f[a+(a-x)]＝f[a-(a-x)]=f(x).故f(x)是以2b-2a为周期的周期函数....[继续阅读]

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字数： 98

(5) y=3x²-x³；(6) y=x(x-1)(x+1)；
(7) y=sinx-cosx+1；(8) y=
(9) y=2^x-2^-x；(10) y=5.">69.　下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既是奇函数又是偶函数，哪些既是非奇函数又是非偶函数?
(1) y=0；　　　　(2) y=x²(1-x²)；　　(3) y=xcosx；
(4) y=(5) y=3x²-x³；(6) y=x(x-1)(x+1)；
(7) y=sinx-cosx+1；(8) y=
(9) y=2^x-2^-x；(10) y=5.

答　是偶函数的有(2),(4),(8),(10).是奇函数的有(3),(6),(9).既是奇函数又是偶函数的有(1).非奇非偶函数有(5),(7)....[继续阅读]

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字数： 74

[f(x)+f(-x)]及ψ(x)=[f(x)-f(-x)]，并指出φ(x)及ψ(x)中哪个是奇函数，哪个是偶函数?">70.　设f(x)=2x²+6x-3，求φ(x)=[f(x)+f(-x)]及ψ(x)=[f(x)-f(-x)]，并指出φ(x)及ψ(x)中哪个是奇函数，哪个是偶函数?

解　φ(x)=[f(x)+f(-x)]=2x2-3,ψ(x)=[f(x)-f(-x)]=6x.所以,φ(x)是偶函数,ψ(x)是奇函数....[继续阅读]

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字数： 68

71.　设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l，l)上的，证明:(1) 两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；(2) 两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数；(3) 任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和.

证　(1)设f1(x),f2(x)均为偶函数,令F(x)=f1(x)+f2(x),因F(-x)=f1(-x)+f2(-x)=f1(x)+f2(x)=F(x),故F(x)为偶函数.设g1(x),g2(x)均为奇函数,令G(x)=g1(x)+g2(x),因G(-x)=g1(-x)+g2(-x)=-g1(x)-g2(x)=-G(x),故G(x)为奇函数.(2)设f1(x),f2(x)均为偶函数,令F(x)=f1(x)·f2(x),因F(-x)=f1(-x)·...[继续阅读]

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字数： 695