容斥原理的推广.若S是一个非空有限集,定义权函数w:S→F,F是包含有理数的环,P={a1,a2,…,am}是m个属性之集,Pi是P的一个分划,|Pi|=mi(i=1,2,…,n).对任意n个非负整数r1,r2,…,rn(ri≤mi,i=1,2,…,n),以w(r1,r2,…,rn)表示S中恰具有Pi中的某ri(i=1,2,…,n)个...[继续阅读]

    排列中的一个二元关系.设σ=σ1σ2…σk是由自然数构成的一无重复元的排列.对于序列中的某一对元素(σi,σj),若i<j有σi>σj,则称它为σ上的一个反序.n个元素恰有r个反序的排列数等于的展开式中qr的系数....[继续阅读]

    一类序列反演公式.该公式于1965年发现,而于1973年由高而德(Gould,H.W.)和徐利治合作发表.若{ai}和{bi}是两个任意数列,使得ψ(x,n)=(ai+bix)≠0,其中x,n为非负整数,而ψ(x,0)=1,则有一对互反公式fn＝(-1)kψ(k,n)gk,gn＝(-1)k(ak+1+kbk+1)ψ(n,k+1)-1fk.这对互...[继续阅读]

    一类组合恒等式.当|q|<1时,下列一对恒等式　＝(1-q5n+1)-1(1-q5n+4)-1,　＝(1-q5n+2)-1(1-q5n+3)-1.分别称为第一和第二罗杰斯-拉马努金恒等式.其组合学意义分别如下:正整数n的分拆为任两部分至少相差2的分拆方法数,等于将n分拆为部分形如...[继续阅读]

    一类组合恒等式.当1≤i≤k,k≥2,|q|<1时　＝(1-qn)-1,其中Nj＝ni,(q)n＝(1-q)(1-q2)…(1-qn),这就是戈登恒等式.其组合意义如下:若Bk,i(n)表示正整数n的形如下列形式(b1,b2,…,bs),bj-bj+k-1≥2,且至多有i-1个bj等于1的分拆方法数,Ak,i(n)表示将n分拆为...[继续阅读]

    一类组合恒等式.当z≠0,|q|<1时,znqn2＝(1-q2n)(1+zq2n+1)(1+z-1q2n+1),称为雅可比三重恒等式....[继续阅读]

    一类关于组合恒等式的定理.当|q|<1时,　(1-qn)=1+(-1)mq(3m-1)(1+qm)＝(-1)mqm(3m-1).它称为欧拉五边形数定理....[继续阅读]

    一类组合恒等式.对所有的实数x,y,z,等式　(x+y)n＝x(x-kz)k-1(y+kz)n-k称为阿贝尔恒等式....[继续阅读]

    对置换结构特征的描述.任何一个n次置换α必可分解为不相交循环之积.若不区别循环间的顺序,也不区别每个循环以哪个元列为首位,则α的这种分解是惟一的.设α分解为λ1个1元循环,λ2个2元循环,…,λn个n元循环之积,则有λ1+2·λ2+…+...[继续阅读]

    波利亚定理的推广.若两置换群A和B分别作用于两有限集X={x1,x2,…,xn}和Y={y1,y2,…ym},则可定义幂群BA＝{(α,β)|α∈A,β∈B}对函数集YX＝{f|f:X→Y}的作用为(α,β)f(x)=β(f(αx)).若有(α,β)f=f′,则称f,f′是等价的,记为f~f′.~为一等价关系.于是,...[继续阅读]