然名起于立法之后,理存于立法之先。理者何?加、减、乘、除四者之错综变化也。而四者之杂于《九章》,则不啻六书之声杂于各部。……盖《九章》不能尽加、减、乘、除之用,而加、减、乘、除可以通《九章》之穷。《孙子》、《...[继续阅读]

    物之数量,不可悉全,必以分言之。《九章算术·方田》三国魏·刘徽注法实①相推,动有参差,故为术者先治诸分。《九章算术·方田》三国魏·刘徽注[注]①法,标准也。除法运算系以某数为标准分割另一数,故引伸之,除数称为法,被除数...[继续阅读]

    少广术曰:置全步及分母子,以最下分母遍乘诸分子及全步,各以其母除其子,置之于左,命通分者。又以分母遍乘诸分子及已通者,皆通而同之,并之为法。置所求步数,以全步积分乘之为实。实如法而一,得从步。汉《九章算术·少广》少广...[继续阅读]

    凡数相与者谓之率。《九章算术·方田》三国魏·刘徽注【评】率是中国古代数学的一个极其重要的概念,在数学运算中起着纲纪的作用。这是刘徽关于率的定义。率者,自相与通。有分则可散,分重叠则约也。等除法实,相与率也。《九...[继续阅读]

    凡母互乘子谓之齐,群母相乘谓之同。同者,相与通同共一母也。齐者,子与母齐,势不可失本数也。《九章算术·方田》三国魏·刘徽注【评】齐同是中国古代数学的一种重要方法,也是关于率的一种重要等量变换。它源于分数的通分。...[继续阅读]

    今有术曰:以所有数乘所求率为实,以所有率为法,实如法而一。汉《九章算术·粟米》【评】这是关于率的一种主要算法。若A∶B=a∶b,则B=Ab/a。后来贾宪、杨辉称之为互换乘除法。印度和欧洲称之为三率法。此都术也。凡九数以为篇名...[继续阅读]

    其率术曰:各置所买石、钧、斤、两以为法,以所率乘钱数为实,实如法而一。不满法者反以实减法,法贱实贵。汉《九章算术·粟米》贵贱率除法曰:以出钱数为实,所买物数为法,实如法而一。实不满法者,以数为贵率,以实减法,为贱率也...[继续阅读]

    反用合分术曰:母互乘子为法,母相乘为实,实如法而一。宋·杨辉《详解九章算法·纂类》【评】合分术是合率术,在“四则运算·分数”已引用。此为合分术的逆运算,是杨辉在《九章算术》均输率“乘传委粟”、“凫雁”、“成瓦”、...[继续阅读]

    衰分术曰:各置列衰,副并为法,以所分乘未并者各自为实,实如法而一。不满法者,以法命之。汉《九章算术·衰分》【评】这是完整的比例分配算法。列衰即是相与率。设所分为A,列衰为ai(i=1,2,…n),则每一部分Ai＝(i=1,2,…n)。法集而衰别...[继续阅读]

    盈不足术曰:置所出率,盈、不足各居其下。令维乘所出率,并,以为实。并盈、不足为法。实如法而一。有分者,通之。盈不足相与同其买物者,置所出率,以少减多,馀,以约法、实。实为物价,法为人数。汉《九章算术·盈不足》【评】盈...[继续阅读]